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氢原子薛定谔方程之推导
夫万物之理，幽微难测，于原子之域，量子之妙，尤见一斑。今欲推氢原子之薛定谔方程，需明其物理之基，循数理之径。

氢原子者，由一质子与一电子所构。电子绕质子而动，其间相互作用，以库仑力为主。于经典力学之境，电子运动循轨道之规，然量子世界，此说未全。

量子力学中，以波函数 Ψ 描述微观粒子之状态。波函数之模方 |Ψ|² 表粒子于某时空点出现之概率密度。

先论体系之能量。氢原子体系能量 E 由电子动能 \(T\) 与电势能 \(V\) 构成。电子质量为 \(m\)，其动能 \(T = \frac{p^{2}}{2m}\)，其中 \(p\) 为电子动量。电势能 \(V\) 因质子与电子之库仑作用而生，库仑常量为 \(k\)，电子与质子电荷分别为 \(-e\) 与 \(e\)，两者间距为 \(r\)，则 \(V = -\frac{k e^{2}}{r}\)。故体系能量 \(E = T + V = \frac{p^{2}}{2m} - \frac{k e^{2}}{r}\)。

据德布罗意之波粒二象性，粒子具波之性质，动量 \(p\) 与波长 \(\lambda\) 相关，即 \(p = \frac{h}{\lambda}\)，其中 \(h\) 为普朗克常量。

于量子力学，可观测量以算符表之。动量算符 \(\hat{p} = -i\hbar\nabla\)，其中 \(\hbar = \frac{h}{2\pi}\)，\(\nabla\) 为梯度算符。

将动量算符代入能量表达式，可得哈密顿算符 \(\hat{H} = -\frac{\hbar^{2}}{2m}\nabla^{2} - \frac{k e^{2}}{r}\)，其中 \(\nabla^{2}\) 为拉普拉斯算符。

量子力学之基本方程，薛定谔方程，其形为 \(\hat{H}\Psi = E\Psi\)。

对于氢原子，将哈密顿算符代入薛定谔方程，即得氢原子之薛定谔方程：\(-\frac{\hbar^{2}}{2m}\nabla^{2}\Psi - \frac{k e^{2}}{r}\Psi = E\Psi\)。

此方程于球坐标系下，因氢原子之球对称性，可作变数分离。令 \(\Psi(r,\theta,\varphi) = R(r)Y(\theta,\varphi)\)，代入方程，经一番数理推导，可得径向方程与角向方程。

径向方程关乎电子与质子距离 \(r\) 之变化，角向方程则决波函数于角度 \(\theta\) 与 \(\varphi\) 之依赖。

求解氢原子薛定谔方程，可得电子于氢原子中可能之能量态与波函数分布，此为理解氢原子结构与性质之基，亦为量子力学于原子物理之重要应用。